Limites y continuidad

3.1 Límites de sucesión

El límite de una sucesión es uno de los conceptos más antiguos del analisis tematico. El mismo da una definición rigurosa a la idea de una sucesion que se va aproximado hacia un punto llamado limite. Si una sucesión tiene límite, se dice que es una sucesion convergente, y que la sucesión convergente o tiende al límite. En caso contrario, la sucesión es divergente.

La definición significa que eventualmente todos los elementos de la sucesión se aproximan tanto como queramos al valor límite. La condición que impone que los elementos se encuentren arbitrariamente cercanos a los elementos subsiguientes no implica, en general, que la sucesión tenga un límite.

3.2 Límite de una función de variable real

Se le llama función real de variable real a toda la función definida de un subconjunto D de los números reales, en el conjunto R de los números reales, tal que a cada elemento x de D le corresponde uno y sólo un elemento y de R:

f:D————->R

x————->x2.

Para que una función quede correctamente definida es necesario determinar:

1.        El conjunto inicial o dominio de la función.

2.        El conjunto final o imagen de la función.

3.        La regla por la cual se asigna a cada elemento del conjunto origen un solo elemento del conjunto imagen.

Así, por ejemplo, la función definida por:

f:R ——–>R

x———>x2.

asigna a cada número real su cuadrado.

Tiene por conjunto origen o campo de existencia todos los números reales, pues dado cualquier número real x, siempre es posible calcular su cuadrado, siendo el resultado otro número real.

Tiene por conjunto imagen todos los números reales positivos, puesto que el cuadrado de un número siempre es positivo:

lim(f)=R+.

La regla de asignación es: “Dado cualquier número real x, calcular su cuadrado para obtener la imagen”.

3.3 Cálculo de límites

Si f(x) es una función usual (polinómicas, racionales, radicales, exponenciales, logarítmicas, etc.) y está definida en el punto a, entonces se suele cumplir que:

Lim= f (a) cuando x tiende a (a)

3.4 Propiedades de los límites

3.5 Límites laterales

El límte lateral por la derecha de una función y = f(x) en el punto x = a es el valor al que se aproxima f(x) cuando x se aproxima al valor de a por valores mayores que a .

El límite lateral por la izquierda de una función y=f(x) en el punto x = a es el valor al que se aproxima f(x) cuando x se aproxima al valor de a por valores menores que a .

3.6 Límites infinitos y límites al infinito

Si una variable independiente x está creciendo indefinidamente através de valores positivos se escribe x------+∞ y si decrece a través de valores negativos se denota como  x----- (-∞) 

Similarmente cuando una funcion f(x) crece indefinidamente y toma valores positivos cada vez mayores, es escribe ƒ(x)→ + ∞ y si decrece tomando valores negativos se escribe  ƒ(x)→ – ∞.

3.7 Asíntotas

Una línea recta que se aproxima continuamente a otra función o curva, que la distancia entre las 2 tiende a 0 a medida que se extiende indefinidamente.

También se puede decir que es la curva la que se aproxima continuamente a la recta, o que en ambas presentan un comportamiento asintótico.

Asíntota Vertical (AV)

La recta x=a es asíntota vertical de f(x) si lim_x->a+ f(x) = inf o lim_x->a- f(x) = inf.

Asíntota Horizontal (AH)

La recta y=b es asíntota horizontal de f(x) si lim_x->inf f(x) = b.

3.8 Funciones continuas y discontinuas en un punto y en un intervalo

Continuidades

Una función es continua en un punto si existe límite en él y coincide con el valor que toma la función en ese punto.

Una idea intuitiva de función continua se tiene al considerar que su gráfica es continua, en el sentido que se puede dibujar sin levantar el lápiz de la hoja de papel.

Continuidad de una función en un punto

Se dice que una función f(x) es continua en un punto x = a si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes:

1. Que el punto x= a tenga imagen.

2. Que exista el límite de la función en el punto x = a.

3. Que la imagen del punto coincida con el límite de la función en el punto.

Si una función no es continua en un punto x=a, diremos que es discontinua en dicho punto.

Una función es continua por la derecha en un punto si existe el límite por la derecha en él y coincide con el valor que toma la función en ese punto, es decir

Una función es continua por la izquierda en un punto si existe el límite por la izquierda en él y coincide con el valor que toma la función en ese punto.

Discontinuidades

1.- Una función es discontinua en un punto cuando no existe límite en él o, existiendo, no coincide con el valor de la función en el mismo.

2.- Una función tiene una discontinuidad evitable en un punto cuando existe límite en él y no coincide con el valor de la función en el mismo.El valor que deberíamos dar a la función en dicho punto para que fuera continua en él se llama verdadero valor de la función en el mismo.

3.- Una función tiene una discontinuidad inevitable.

3.9 Tipos de discontinuidad

Discontinuidad evitable

Si una función tiene límite en un punto, pero la función en ese punto tiene un valor distinto:

o no existe:

se dice que la discontinuidad es evitable, asignando a la función, en ese punto, el valor del límite:

Discontinuidad esencial o no evitable

Se dice que una función presenta una discontinuidad esencial cuando se produce algunas de las siguientes situaciones:

1.        Existen los límites laterales pero no coinciden.

2.        Alguno de los límites laterales o ambos son infinitos.

3.        No existe alguno de los límites laterales o ambos.

Discontinuidad de primera especie

En este tipo de discontinuidad existen tres tipos:

- DE SALTO FINITO

Existen el límite por la derecha y por la izquierda del punto, su valor es finito, pero no son iguales:

A este tipo de discontinuidad de primera especie se le llama salto finito, y el salto viene dado por:De salto infinitoSi uno de los límites laterales es infinito y el otro finito, tanto si el límite por la izquierda es finito y el de la derecha infinito:

como en el caso de que el límite por la izquierda sea infinito y por la derecha finito:

Derivadas

4.1 Conceptos de incremento y de razón de cambio. La derivada de una función.

Derivada de una función en un punto. Dada la función f(x) continúa en el intervalo abierto I, se define la derivada

Sí en lugar de considerar h el incremento de la variable independiente x lo sustituimos por Δx tenemos que la definición queda:

En el caso de que hagamos h=x-a tenemos a+h=x, y la definición nos queda de la siguiente forma:

Función derivada. Dada la función f(x) continúa en el intervalo abierto I denominamos función derivada a:

Sí en lugar de considerar h el incremento de la variable independiente x lo sustituimos por Δx tenemos que la definición queda

4.2 La interpretación geométrica de la derivada.

La derivada de una función en un punto representa el valor de la pendiente de la recta tangente en dicho punto.  La pendiente está dada por la tangente del ángulo que forma la recta tangente a la curva (función) con el eje de las abcisas,  en ese punto. La derivada de una función mide el coeficiente de variación de dicha función.   Es decir, provee una formulación matemática de la noción del coeficiente de cambio.  El coeficiente de cambio indica lo rápido que crece (o decrece) una función en un punto (razón de cambio promedio)  respecto del eje  de un plano cartesiano de dos dimensiones. Por ejemplo si tomamos la velocidad de algo,  su coeficiente es la aceleración, la cual mide cuánto cambia la velocidad en un tiempo dado. 4.3 Concepto de diferencial. Interpretación  geométrica de las diferenciales. La forma en que hemos abordado el concepto de derivada, aunque existen varios conceptos,  fue el encontrar la relación de la pendiente de la línea recta y´ =f ´(x) que era tangente a la función.  Para un punto en particular podemos llegar a la definición de la derivada f ‘(x) y vimos que f ‘(x1) es la pendiente de la recta tangente a la curva en x=x1. El diferencial se puede tomar en el sentido geométrico como la elevación de la tangente desde el punto en que se toma el diferencial. Recuérdese que la derivada de la función en el punto es la pendiente de la recta tangente a la función en el punto, como sabemos que la tangente de un ángulo es igual al cociente entre el cateto opuesto (incremento de y) y el cateto contiguo (incremento de x) de un hipotético triángulo rectángulo, sólo hay que despejar el incremento de y que equivale a nuestro diferencial. Vista geométricamente, la elevación se produce verticalmente a partir del punto en que se toma el diferencial. El incremento  que se tome representará el alejamiento horizontal que haga desde el punto en cuestión. Así la elevación de la tangente que se obtenga como resultado dependerá del punto en cuestión y del alejamiento horizontal que se tomen, que en la formulas matemáticas están definidos respectivamente por  y . 4.4 Propiedades de la derivada. 4.5 Regla de la cadena. 4.6 Fórmulas de derivación y fórmulas de diferenciación. 4.7 Derivadas de orden superior y regla L´Hôpital. Sea y=f(x) una función diferenciable de x y llamemos a su derivada la primera derivada de la función.  Si la primera derivada es diferenciable, su derivada se llama segunda derivada de la función original y se escribe con algunos de los simbolos , y’’o f’’(x). A su vez, la derivada de la segunda derivada se llama la tercera derivada de la función y se denota por , y’’’ o f’’’(x) y lo mismo para la cuarta, quinta, etc. Regla de L’Hopital: Sea un numero f(x), g(x) son funciones diferenciables, con g(x)≠0 para todo x en algún intervalo 0<|x-a|< y si , entonces cuando  existe o es infinito. 4.8 DERIVADA DE FUNCIONES IMPLICITAS. Para derivar en forma implícita no se necesita despejar y, solamente se necesita derivar miembro a miembro, utilizando las reglas correspondientes, teniendo presente que: X’=1 Funciones implícitas. En general y’≠1 La derivada de funciones implícitas se puede obtener por uno de los procedimientos siguientes: 1.- Despejar y si es posible, y derivar con respecto a x. Excepto para ecuaciones sencillas, es muy poco recomendable. 2.-Pensando  en y como función de x, derivar los dos miembros de la función dada respecto a x y despejar en la ecuación resultante y’ . Este proceso se le conoce como derivación implícita.

UNIDAD 5 APLICACIONES DE LA DERIVADA

5.1 RECTA TANGENTE Y RECTA NORMAL A UNA CURVA EN UN PUNTO. CURVAS ORTOGONALES

Pendiente de la tangente a la curva. Es igual al valor de la derivada en cualquier punto.

La tangente a una curva es la recta que corta a la curva.

Y se representa matemáticamente:

  =P(x,y)

Donde:

 Es la pendiente de la tangente a la curva.

  Es la derivada de la curva.

Pendiente de la recta normal a la curva. Es igual a la reciproca de la pendiente de la tangente de la curva.

Y se representa matemáticamente:

Donde:

 Es la pendiente de la recta normal.

  Es la pendiente de la tangente a la curva.

5.2 TEOREMA DE ROLLE, TEOREMA DE LAGRANGE O TEOREMA DEL VALOR MEDIO DEL CALCULO DIFERENCIAL.

Si f(x) es continua en el intervalo [a,b] y se anula en sus extremos, y tiene una derivada f’(x) en todo punto inferior del intervalo, entonces existe por lo menos un valor de x, comprendido entre a y b, en el que f’(x) es igual a cero.

Teorema de valor medio:

5.3 FUNCION CRECIENTE Y DECRECIENTE. MAXIMOS Y MINIMOS DE UNA FUNCION. CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA.

Función creciente:

Una función y=f(x) se llama función creciente si aumenta cuando x aumenta.

Función decreciente:

Una función y=f(x) se llama función decreciente si disminuye cuando x aumenta.

Máximos y Mínimos (Criterio de la primera derivada)

Condiciones generales para máximos y mínimos de f(x):

F(x) es un máximo si f’(x)=0 y f’(x) cambia de signo pasando de + a –

F(x) es un mínimo si f’(x)=0 y f’(x) cambia de signo pasando de – a +

Pasos para calcular máximos y minimos de la primera derivada:

1.- Se halla la primera derivada de la función.

2.- Se iguala la primera derivada a cero y se encuentras las raíces reales de la ecuación resultante.

3.- Se consideran los valores críticos uno por uno, y se calculan los signos de la primera derivada.

5.4 ANALISIS DE LA VARIACION DE FUNCIONES.

El análisis de la variación se le conoce como variación acotada, o también conocido como BV función, es un numero real con valores de función cuya variación total esta limitado(finito).

5.5 CALCULO DE APROXIMACIONES USANDO LA DIFERENCIAL.

La diferencial nos permite representar la derivada como un cociente y hallar el valor aproximado de la variación de una función alrededor de un punto.

Sea P(x0, y0) un punto fijo sobre la grafica de y=f(x). Tomando  el punto P(x0, y0) como origen, se introduce el nuevo sistema de coordenadas cuyos ejes dx y dy son paralelos a los ejes anteriores.

Supongamos que con este nuevo eje de coordenadas, la recta tangente en el punto P pasa por el origen y su ecuación es simple, dy=mdx donde m es la pendiente.

5.6 PROBLEMAS DE OPTIMIZACION Y DE TASAS RELACIONADAS.

La optimización se refiere a los problemas que se ocupan de la determinada forma mas apropiada para realizar cierta tarea. Se deben de calcular los máximos y minimos de la función. La función cuyo máximo o minimo necesita determinarse por lo general esta sujeta a ciertas restricciones que deben tomarse en cuenta.

Pasos para resolver un problema de optimización:

1.- Identificar las variables y constantes de la función.

2.- Escribir la formula adecuada para la función particular.

3.- La formula será escrita en términos de una sola variable.