Derivadas

4.1 Conceptos de incremento y de razón de cambio. La derivada de una función.

Derivada de una función en un punto. Dada la función f(x) continúa en el intervalo abierto I, se define la derivada

Sí en lugar de considerar h el incremento de la variable independiente x lo sustituimos por Δx tenemos que la definición queda:

En el caso de que hagamos h=x-a tenemos a+h=x, y la definición nos queda de la siguiente forma:

Función derivada. Dada la función f(x) continúa en el intervalo abierto I denominamos función derivada a:

Sí en lugar de considerar h el incremento de la variable independiente x lo sustituimos por Δx tenemos que la definición queda

4.2 La interpretación geométrica de la derivada.

La derivada de una función en un punto representa el valor de la pendiente de la recta tangente en dicho punto.  La pendiente está dada por la tangente del ángulo que forma la recta tangente a la curva (función) con el eje de las abcisas,  en ese punto. La derivada de una función mide el coeficiente de variación de dicha función.   Es decir, provee una formulación matemática de la noción del coeficiente de cambio.  El coeficiente de cambio indica lo rápido que crece (o decrece) una función en un punto (razón de cambio promedio)  respecto del eje  de un plano cartesiano de dos dimensiones. Por ejemplo si tomamos la velocidad de algo,  su coeficiente es la aceleración, la cual mide cuánto cambia la velocidad en un tiempo dado. 4.3 Concepto de diferencial. Interpretación  geométrica de las diferenciales. La forma en que hemos abordado el concepto de derivada, aunque existen varios conceptos,  fue el encontrar la relación de la pendiente de la línea recta y´ =f ´(x) que era tangente a la función.  Para un punto en particular podemos llegar a la definición de la derivada f ‘(x) y vimos que f ‘(x1) es la pendiente de la recta tangente a la curva en x=x1. El diferencial se puede tomar en el sentido geométrico como la elevación de la tangente desde el punto en que se toma el diferencial. Recuérdese que la derivada de la función en el punto es la pendiente de la recta tangente a la función en el punto, como sabemos que la tangente de un ángulo es igual al cociente entre el cateto opuesto (incremento de y) y el cateto contiguo (incremento de x) de un hipotético triángulo rectángulo, sólo hay que despejar el incremento de y que equivale a nuestro diferencial. Vista geométricamente, la elevación se produce verticalmente a partir del punto en que se toma el diferencial. El incremento  que se tome representará el alejamiento horizontal que haga desde el punto en cuestión. Así la elevación de la tangente que se obtenga como resultado dependerá del punto en cuestión y del alejamiento horizontal que se tomen, que en la formulas matemáticas están definidos respectivamente por  y . 4.4 Propiedades de la derivada. 4.5 Regla de la cadena. 4.6 Fórmulas de derivación y fórmulas de diferenciación. 4.7 Derivadas de orden superior y regla L´Hôpital. Sea y=f(x) una función diferenciable de x y llamemos a su derivada la primera derivada de la función.  Si la primera derivada es diferenciable, su derivada se llama segunda derivada de la función original y se escribe con algunos de los simbolos , y’’o f’’(x). A su vez, la derivada de la segunda derivada se llama la tercera derivada de la función y se denota por , y’’’ o f’’’(x) y lo mismo para la cuarta, quinta, etc. Regla de L’Hopital: Sea un numero f(x), g(x) son funciones diferenciables, con g(x)≠0 para todo x en algún intervalo 0<|x-a|< y si , entonces cuando  existe o es infinito. 4.8 DERIVADA DE FUNCIONES IMPLICITAS. Para derivar en forma implícita no se necesita despejar y, solamente se necesita derivar miembro a miembro, utilizando las reglas correspondientes, teniendo presente que: X’=1 Funciones implícitas. En general y’≠1 La derivada de funciones implícitas se puede obtener por uno de los procedimientos siguientes: 1.- Despejar y si es posible, y derivar con respecto a x. Excepto para ecuaciones sencillas, es muy poco recomendable. 2.-Pensando  en y como función de x, derivar los dos miembros de la función dada respecto a x y despejar en la ecuación resultante y’ . Este proceso se le conoce como derivación implícita.