Limites y continuidad

3.1 Límites de sucesión

El límite de una sucesión es uno de los conceptos más antiguos del analisis tematico. El mismo da una definición rigurosa a la idea de una sucesion que se va aproximado hacia un punto llamado limite. Si una sucesión tiene límite, se dice que es una sucesion convergente, y que la sucesión convergente o tiende al límite. En caso contrario, la sucesión es divergente.

La definición significa que eventualmente todos los elementos de la sucesión se aproximan tanto como queramos al valor límite. La condición que impone que los elementos se encuentren arbitrariamente cercanos a los elementos subsiguientes no implica, en general, que la sucesión tenga un límite.

3.2 Límite de una función de variable real

Se le llama función real de variable real a toda la función definida de un subconjunto D de los números reales, en el conjunto R de los números reales, tal que a cada elemento x de D le corresponde uno y sólo un elemento y de R:

f:D————->R

x————->x2.

Para que una función quede correctamente definida es necesario determinar:

1.        El conjunto inicial o dominio de la función.

2.        El conjunto final o imagen de la función.

3.        La regla por la cual se asigna a cada elemento del conjunto origen un solo elemento del conjunto imagen.

Así, por ejemplo, la función definida por:

f:R ——–>R

x———>x2.

asigna a cada número real su cuadrado.

Tiene por conjunto origen o campo de existencia todos los números reales, pues dado cualquier número real x, siempre es posible calcular su cuadrado, siendo el resultado otro número real.

Tiene por conjunto imagen todos los números reales positivos, puesto que el cuadrado de un número siempre es positivo:

lim(f)=R+.

La regla de asignación es: “Dado cualquier número real x, calcular su cuadrado para obtener la imagen”.

3.3 Cálculo de límites

Si f(x) es una función usual (polinómicas, racionales, radicales, exponenciales, logarítmicas, etc.) y está definida en el punto a, entonces se suele cumplir que:

Lim= f (a) cuando x tiende a (a)

3.4 Propiedades de los límites

3.5 Límites laterales

El límte lateral por la derecha de una función y = f(x) en el punto x = a es el valor al que se aproxima f(x) cuando x se aproxima al valor de a por valores mayores que a .

El límite lateral por la izquierda de una función y=f(x) en el punto x = a es el valor al que se aproxima f(x) cuando x se aproxima al valor de a por valores menores que a .

3.6 Límites infinitos y límites al infinito

Si una variable independiente x está creciendo indefinidamente através de valores positivos se escribe x------+∞ y si decrece a través de valores negativos se denota como  x----- (-∞) 

Similarmente cuando una funcion f(x) crece indefinidamente y toma valores positivos cada vez mayores, es escribe ƒ(x)→ + ∞ y si decrece tomando valores negativos se escribe  ƒ(x)→ – ∞.

3.7 Asíntotas

Una línea recta que se aproxima continuamente a otra función o curva, que la distancia entre las 2 tiende a 0 a medida que se extiende indefinidamente.

También se puede decir que es la curva la que se aproxima continuamente a la recta, o que en ambas presentan un comportamiento asintótico.

Asíntota Vertical (AV)

La recta x=a es asíntota vertical de f(x) si lim_x->a+ f(x) = inf o lim_x->a- f(x) = inf.

Asíntota Horizontal (AH)

La recta y=b es asíntota horizontal de f(x) si lim_x->inf f(x) = b.

3.8 Funciones continuas y discontinuas en un punto y en un intervalo

Continuidades

Una función es continua en un punto si existe límite en él y coincide con el valor que toma la función en ese punto.

Una idea intuitiva de función continua se tiene al considerar que su gráfica es continua, en el sentido que se puede dibujar sin levantar el lápiz de la hoja de papel.

Continuidad de una función en un punto

Se dice que una función f(x) es continua en un punto x = a si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes:

1. Que el punto x= a tenga imagen.

2. Que exista el límite de la función en el punto x = a.

3. Que la imagen del punto coincida con el límite de la función en el punto.

Si una función no es continua en un punto x=a, diremos que es discontinua en dicho punto.

Una función es continua por la derecha en un punto si existe el límite por la derecha en él y coincide con el valor que toma la función en ese punto, es decir

Una función es continua por la izquierda en un punto si existe el límite por la izquierda en él y coincide con el valor que toma la función en ese punto.

Discontinuidades

1.- Una función es discontinua en un punto cuando no existe límite en él o, existiendo, no coincide con el valor de la función en el mismo.

2.- Una función tiene una discontinuidad evitable en un punto cuando existe límite en él y no coincide con el valor de la función en el mismo.El valor que deberíamos dar a la función en dicho punto para que fuera continua en él se llama verdadero valor de la función en el mismo.

3.- Una función tiene una discontinuidad inevitable.

3.9 Tipos de discontinuidad

Discontinuidad evitable

Si una función tiene límite en un punto, pero la función en ese punto tiene un valor distinto:

o no existe:

se dice que la discontinuidad es evitable, asignando a la función, en ese punto, el valor del límite:

Discontinuidad esencial o no evitable

Se dice que una función presenta una discontinuidad esencial cuando se produce algunas de las siguientes situaciones:

1.        Existen los límites laterales pero no coinciden.

2.        Alguno de los límites laterales o ambos son infinitos.

3.        No existe alguno de los límites laterales o ambos.

Discontinuidad de primera especie

En este tipo de discontinuidad existen tres tipos:

- DE SALTO FINITO

Existen el límite por la derecha y por la izquierda del punto, su valor es finito, pero no son iguales:

A este tipo de discontinuidad de primera especie se le llama salto finito, y el salto viene dado por:De salto infinitoSi uno de los límites laterales es infinito y el otro finito, tanto si el límite por la izquierda es finito y el de la derecha infinito:

como en el caso de que el límite por la izquierda sea infinito y por la derecha finito: