2.1 Concepto de variable, funcion, dominio, codominio y recorrido de una funcion variable.

Variable.

En matemáticas y en lógica, una variable es un símbolo constituyente de un predicado, fórmula o algoritmo o de una proposición. El término «variable» se utiliza aun fuera del ámbito matemático para designar una cantidad susceptible de tomar distintos valores numéricos dentro de un conjunto de números especificado.¹

En contraste, una constante es un valor que no cambia (aunque puede no ser conocido, o indeterminado). En este contexto, debe diferenciarse de una constante matemática, que es una magnitud numérica específica, independientemente de la naturaleza del problema dado.

Clasificación de las variables:

Variable dependiente: Hacen referencia a las características de la realidad que se ven determinadas o que dependen del valor que asuman otros fenómenos o variables independientes.

Variable independiente: Los cambios en los valores de este tipo de variables determinan cambios en los valores de otra (variable dependiente)

Variables intervinientes: Este tipo de variables determina las relaciones entre dos o más variables. Los resultados de las variables de estudio pueden verse afectadas por los valores o la interposición de otras variables controladas o no en el proceso de estudio. Estas variables nos permiten determinar los indicadores de variabilidad.

Funcion:

Una función es como una máquina: tiene una entrada y una salida. Y lo que sale está relacionado de alguna manera con lo que entra.

Ejemplos:

·         ‘Multiplicar por 2’ es una función muy simple.

·         La raíz cuadrada es una función.

·         Seno, coseno y tangente son funciones que se usan en trigonometría.

Dominio:

El conjunto de todos los posibles valores de ingreso que la función acepta.
Los valores de salida son llamados Rango.

Dominio -> función -> Rango

Ejemplo: si a la función f(x) = x2 se le dan los valores x = {1,2,3,...} entonces {1,2,3,...} es el dominio. 

http://www.disfrutalasmatematicas.com/definiciones/dominio-de-una-funcion.html

2.2 FUNCION INYECTIVA, SUPRAYECTIVA Y BIYECTIVA.

Inyectiva: significa que cada elemento de "B" tiene como mucho uno de "A" al que corresponde (pero esto no nos dice que todos los elementos de "B" tengan alguno en "A"). f "es "uno a uno" o inyectiva si para cada x1 y x2" en X se cumple cualquiera de las siguientes condiciones:

·         f(x1)=f(x2)⇒x1=x2

·         x1≠x2 ⇒f(x1)≠f(x2)

Suprayectiva: significa que cada elemento de "B" tiene por lo menos uno de "A" (a lo mejor más de uno). f es sobre o suprayectiva si satisface cualquiera de las siguientes condiciones:

·         Para cada y en Y existe x en X tal que f(x)=y

·         Y=Rf

Biyectiva: significa inyectivo y sobreyectivo a la vez. Así que hay una correspondencia perfecta "uno a uno" entre los elementos de los dos conjuntos.

2.3 Funcion real de variable real y su representacion grafica.

Se le llama función real de variable real a todo función definida de un subconjunto D de los números reales, en el conjunto ℝ  de los números reales, tal que a cada elemento de x(D) le corresponde un único elemento en y (ℝ)

Para que una función quede bien definida es necesario determinar:

·         El conjunto inicial o dominio de la función

·         El codomino o imagen de la función

·         La regla por la cual a cada elemento de un conjunto dominio se le asigna un único elemento del conjunto imagen.

Ejemplo:

https://sites.google.com/site/virtualcdaltamiranomesmeralda/calculodiferencial/2funciones/2-3funcionrealdevariablerealysurepresentaciongrafica

2.4 Funciones algebraicas. Funcion polinomial, racional e irracional.

Funcion polinomial.

Cualquier función que pueda optenerse a partir de las funciones contantes y de la función identidad por medio del uso de las operaciones de suma, diferencia y multiplicación se denomina función polinimial. Esto equivale a decir que f, es una función polinimial con la forma:

Aunque se pueden utilizar subíndices para los coeficientes de las funciones polinomicas en general, para las de grados mas bajos se utilizan con frecuencia las siguientes  formas mas sencillas:

https://www.scribd.com/doc/169268272/2-4-Funciones-algebraicas-funcion-polinomial-racional-e-irracional

Función racional.

Las funciones racionales son del tipo:

El dominio de una función racional de lo forman todos los números reales menos los valores de x que anulan el denominador.

Ejemplo:

Un tipo de función racional es la función de proporcionalidad inversa de ecuación:

http://www.ditutor.com/funciones/funcion_racional.html

Funcion irracional.

Las funciones irracionales son aquellas cuya expresión matemática f(x) presenta un radical:

donde g(x) es una función polinómica o una función racional.

Si n es par, el radical está definido para g(x) ³ 0; así que a los efectos de calcular el dominio de f(x) que contenga un radical, habrá que imponer la condición anterior al conjunto de la expresión f(x).

http://arquimedes.matem.unam.mx/descartes.org.mx/descartes/web/materiales_didacticos/Procedimiento_analizar_funcion/2bcnst_14_9.htm

2.5 Funciones trascendentes.

Las  funciones que no son algebraicas se llaman funciones trascendentes.

Funciones trigonometricas:

Una función trigonométrica, también llamada circular, es aquella que se define por la aplicación de una razón trigonométrica a los distintos valores de la variable independiente, que ha de estar expresada en radianes. Existen seis clases de funciones trigonométricas: seno y su inversa, la cosecante; coseno y su inversa, la secante; y tangente y su inversa, la cotangente. Para cada una de ellas pueden también definirse funciones circulares inversas: arco seno, arco coseno, etcétera.

La función seno

Se denomina función seno, y se denota por f (x) 5 sen x, a la aplicación de la razón trigonométrica seno a una variable independiente x expresada en radianes. La función seno es periódica, acotada y continua, y su dominio de definición es el conjunto de todos los números reales.

La función coseno

La función coseno, que se denota por f (x) = cos x, es la que resulta de aplicar la razón trigonométrica coseno a una variable independiente x expresada en radianes. Esta función es periódica, acotada y continua, y existe para todo el conjunto de los números reales.

La función tangente

Se define función tangente de una variable numérica real a la que resulta de aplicar la razón trigonométrica tangente a los distintos valores de dicha variable. Esta función se expresa genéricamente como f (x) = tg x, siendo x la variable independiente expresada en radianes.

http://www.hiru.com/matematicas/funciones-trigonometricas

Funciones exponenciales.

Una función exponencial con base b es una función de la forma f(x) = bx , donde b  y  x son números reales tal que b > 0  y  b es diferente de uno.

Propiedades de f(x) = bx, b>0, b diferente de uno:

1)  Todas las gráficas intersecan en el punto (0,1).

2)  Todas las gráficas son continuas, sin huecos o saltos.

3)  El eje de x es la asíntota horizontal.

4)  Si  b > 1 (b, base), entonces bx aumenta conforme aumenta x.

5)  Si  0 < b < 1, entonces bx disminuye conforme aumenta x.

6)  La función f es una función uno a uno.

2.6 Funcion definida por mas de una regla de correspondencia. Funcion valor absoluto.

La función de valor absoluto tiene por ecuación f(x) = |x|, y siempre representa distancias; por lo tanto, siempre será positiva o nula.
En esta condición, de ser siempre positiva o nula, su gráfica no se encontrará jamás debajo del eje x. Su gráfica va a estar siempre por encima de dicho eje o, a lo sumo, tocándolo.
Las funciones en valor absoluto siempre representan una distancia o intervalos (tramos o trozos) y se pueden resolver o calcular siguiendo los siguientes pasos:

·         Se iguala a cero la función, sin el valor absoluto, y se calculan sus raíces (los valores de x).

·         2. Se forman intervalos con las raíces (los valores de x) y se evalúa el signo de cada intervalo.

·         3. Definimos la función a intervalos, teniendo en cuenta que en los intervalos donde la x es negativa se cambia el signo de la función. 

·         4. Representamos la función resultante.

2.7 Operaciones con funciones: 

A continuacion veremos una demostracion visual de las operaciones con funciones:

2.8 Funcion inversa. Funcion logaritmica, funciones trigonometricas inversas.

Inversas.

Se llama función inversa o reciproca de f a otra función f−1 que cumple que:

Si f(a) = b, entonces f−1(b) = a.

Veamos un ejemplo a partir de la función f(x) = x + 4

Podemos observar que:

El dominio de f−1 es el recorrido de f.

El recorrido de f−1 es el dominio de f.

Si queremos hallar el recorrido de una función tenemos que hallar el dominio de su función inversa.

Si dos funciones son inversas su composición es la función identidad.

(f o f−1) (x) = (f−1 o f) (x) = x

Las gráficas de f y f-1 son simétricas respecto de la bisectriz del primer y tercer cuadrante.

http://www.vitutor.com/fun/2/a_5.html

Logaritmica.

La función logarítmica en base a es la función inversa de la exponencial en base a.

Ejemplos:

Trignometrica inversa.

Para que una función tenga inversa, tiene que ser inyectiva.

Las funciones trigonométricas no son inyectivas en todo su dominio, solo en algunos intervalos.

2.9 Funciones con dominio en los numeros naturales y recorrido en los numeros reales.

Una sucesión numérica es una función cuyo dominio es el conjunto de los números naturales y cuyo recorrido está incluido en el conjunto de los números reales.

En símbolos:

Es decir que:

- a1 es la imagen del número natural 1 por medio de la sucesión

- a2 es la imagen del número natural 2 por medio de la sucesión

De acuerdo con esta definición, cada elemento de una sucesión puede representarse como un par ordenado (n, s(n)) o bien (n, an). Por consiguiente, toda sucesión puede representarse gráficamente mediante un diagrama cartesiano.

2.10 Funcion implicita.

Una correspondencia o una función está definida en forma implícita cuando no aparece despejada la y sino que la relación entre x e y viene dada por una ecuación de dos incógnitas cuyo segundo miembro es cero.

Derivadas de funciones implícitas

Para hallar la derivada en forma implícita no es necesario despejar y. Basta derivar miembro a miembro, utilizando las reglas vistas hasta ahora y teniendo presente que:

x'=1.

En general y'≠1.

Por lo que omitiremos x' y dejaremos y'.

Ejemplos:

Derivar las funciones:

RESOLUCION DE DESIGUALDADES QUE INCLUYAN VALOR ABSOLUTO.

Hay 4 tipos de resolucion de desigualdades con valor absoluto pero usaremos la necesaria deacuerdo a la desigualdad.

  

Acontinuacion veremos las cuatro formas de resolver las diferentes desigualdades:

Este video muestra la resolucion de una desigualdad de valor absoluto del tipo 1

Este video nos muestra la reolucion de la desigualdad con valor absoluto del tipo 2

Resolucion de la desigualdad del tipo 3

Aqui se aprecia la resolucion de la desigualdad de valor absoluto tipo 4

VALOR ABSOLUTO Y SUS PROPIEDADES

El valor absoluto de un numero real a coincide con el mismo si es positivo o 0, y es igual a su opuesto si es negativo. Se representa por |a|.

       

Propiedades de valor absoluto:

RESOLUCION DE DESIGUALDADES DE PRIMER GRADO CON UNA INCOGNITA Y DESIGUALDADES CUADRATICAS CON UNA INCOGNITA.

Desigualdades de primer grado con una incognita:

Ejemplos:

3x + 1 < x + 12

Primero vamos a pasar todas las 'x' del lado izquierdo de la desigualdad

3x - x < 12 - 1

 

Como teniamos la 'x' positiva al pasarla del otro lado cambia su valor y se convierte en negativa y como queriamos dejar solo las 'x' del lado izquierdo por ello pasamos el '1' del lado derecho para despegar las 'x'

Ahora tenemos que hacer las operaciones que tenemos ya sea sumar (adicion) o restar (sustraccion)

2x < 11

Pero aun no despejamos del todo la 'x' ya que aun tenemos que esta multiplicando por el '2' asi que tenemos que pasar ese '2' al otro lado haciendo su operacion inversa (dividiendo)

x < 11/2   =   5.5

Ya que el resultado nos dio fraccion y al hacer la division de esos numeros nos da un numero decimal lo dejamos como fraccion

Ahora nuestro resultado nos indica que 'x' es menor que 11/2 por lo cual nuestro intervalos son:

(-∞, 11/2)

Este video muestra tres ejemplo sobre las desigualdades de primer grado con una incognita.

El termino incognita se refiere a una variable.

Desigualdades cuadraticas con una incognita:

EJEMPLOS:

Intervalos y su representacion mediante desigualdades.

Intervalo:

Es un conjunto de numeros reales comprendidos entre otros dos, dados: a y b, que se denominan extremos del intervalo.

Tambien se llama intervalo al segmento determinado por los puntos a y b que representan una porcion de la recta real.

Ejemplo:

(2,5) Es un intervalo de extremos 2 y 5 y a este pertenecen todos los numeros comprendidos entre 2 y 5 sin incluir sus extremos. 

Clases de intervalos.

• Intercalo abierto: (a,b): son todos los numero entre a y b sin incluir sus extremos.
• Intervalos cerrados: [a,b]: son todos los numeros entre a y b incluyendo sus extremos.
• Intervalo semiabiertos o semicerrados: [a,b) son todos los numeros entre a y b incluyendo el extremo a.
• Intervalos infinitos: (a,∞): son todos los numeros mayores que a.

Inecuaciones.

Inecuacion es toda expresion en la que aparece alguno de los simbolos  ≤, ≥, <, >.

Las desigualdades como las inecuaciones se pueden clasificar en:

Verdadero: -5 > -10

Absurdo:      3 < -2

Inecuacion: 5x-9 ≥ 2x+1

NOTA:  ≤ Menor o igual que

             ≥ Mayor o igual que

             < Menor que

             > Mayor que

Propiedades de las desigualdades:

• si a < b y c un numero real cualquiera, entonces a+- c < b +- c.
• si a < b y c un numero real positivo cualquiera entonces (a) (c) < (b) (c).
• si a < b y c un numero real negativo cualquiera entonces (c < 0)

Clasificacion de las desigualdades:

• Desigualdad lineal: son las mas sencillas puesto que solamente contienela variable a la primera potencia.          3x+1 < x+12
• Desigualdad lienal doble: Son desigualdades lineales que contienen dos signos de comparacion.                    5x+1 < 11+x ≤ 15x
• Desigualdad cuadratica: como su nombre lo indica son aquellas en las que en uno de sus miembros o en ambos aparece un termino cuadratico.
• Desigualdades racionales: Son aquellas en las que aparecen cocientes con variable en el denominador y/o en el numerador.

PROPIEDADES DE LOS NUMEROS REALES
En nuestra vida cotidiana todos los dias usamos los numeros reales por ello es de suma importacia conocer sus propiedades, las cuales son las siguientes:

                                   1-  Adicion y Sustraccion.
sumas: 2+2=4
resta:   10-5=5
             
                                  2- Cerradura.
Cerradura se refiere a una operación y un conjunto numérico. se dice que cumple con esta propiedad de cerradura si tomas 2, cualquiera de estos números, el resultado siempre pertenecerá a tal conjunto numérico.

                                     
                                    3- Conmutativa.
La propiedad conmutativa, dice que el resultado de una operacion es el mismo cualquiera que sea el orden de los elementos con los que se opera. 


suma: a+b=b+a         2+5=5+2 = 7

multiplicacion:  (a)(b)=(b)(a)    (2)(5)=(5)(2)  =  10

                                     4- Asociativa.
la propiedas asociativa dice que el resultado de una operacion, en la que intervienen  tres o mas numeros, es independiente del agrupamiento de los numeros.

suma:   (a+b) + c = a + (b+c)     (2+3) + 5  = 2 + (3+5)  
                                                    5+5 = 2+8
                                                     10

multiplicacion:   (ab)(c) = (a)(bc)      ( (2)(3) )  (5)  = (2)  (  (3)(5)  )
                                                         (6) (5) = (2) (15)
                                                            30

                    5- Distributiva.
la propiedas distributiva de la multiplicacion respecto a la suma o resta es aquella por la que de dos o mas numeros de una suma o resta, multiplicada por otro numero es igual a la suma (o resta) de la multiplicacion de cada termino de la seuma o la resta por el numero.

 (a) (b+c) = (a) (b) + (a) (c)        (2) (3+5) = (2) (3) + (2) (5)
                                                   (2) (8) = 6 + 10
                                                   16 

(a) (b - c) = (a) (b) - (a) (c)         (2) (5 - 3) = (2) (5) - (2) (3)
                                                   (2) (2) = 10 - 6
                                                   4

           6- Identidad.
La identidad o elemento neutro tiene dos operaciones:
Suma:
La propiedad del elemento neutro define al número 0 como elemento identidad de la suma de forma tal que la suma de cualquier número y cero será igual a cero.

                                             a + 0 = a                   2 + 0 = 2

Multiplicacion:

La propiedad del elemento neutro define al número 1 como elemento identidad de la multiplicación de forma tal que el producto de cualquier número y 1 será igual a cero.

                                            (a) (1) = a                  (2) (1) = 2

             7- Inverso

Un numero es inverso de otro si al multiplicarlos obtenemos como resultado la unidad.

El elemento inverso, es igual a 1 partido por el numero.

                                       

                                                          (a) 1/a = 1

                                                          (5) 1/5 = 1

propiedades.

                                     El 0 no tiene inverso

                                     El inverso de un numero fraccionario a/b es b/a

                                     El inverso del inverso de un numero es el mismo numero

 

                                         1/1/a =a

La multiplicacion de numeros racionales, reales y complejos tiene elemento inverso.






http://www.ditutor.com/numeros_naturales/conmutativa.html
http://www.ditutor.com/numeros_naturales/asociativa.html
http://www.ditutor.com/numeros_naturales/distributiva.html

http://www.ditutor.com/numeros_naturales/inverso.html